Андрей Андреевич Вознесенский родился 12 мая 1933 года в Москве. Отец — Андрей Николаевич Вознесенский (1903—1974), инженер-гидротехник, доктор технических наук, профессор, директор Гидропроекта, Института водных проблем АН СССР, участник строительства Братской и Ингурской гидроэлектростанций, заслуженный деятель науки и техники Узбекской ССР; мать — Антонина Сергеевна (1905—1983), урожд. Пастушихина была родом из Владимирской области. Прапрадед Андрея Андреевича, Андрей Полисадов был архимандритом, настоятелем Благовещенского муромского собора на Посаде.
В Киржаче Владимирской области Вознесенский провел часть детства. Во время Великой Отечественной Андрей с матерью были эвакуированы из Москвы и жили в городе Кургане в семье машиниста. Андрей учился в 1941—1942 годах в школе № 30. Позднее, вспоминая эту пору, Андрей Андреевич написал: «В какую дыру забросила нас эвакуация, но какая добрая это была дыра».
После возвращения из эвакуации учился в одной из старейших московских школ (ныне Школа № 1060). В четырнадцатилетнем возрасте послал свои стихи Борису Пастернаку, дружба с которым в дальнейшем оказала сильное влияние на его судьбу. Окончил в 1957 году Московский архитектурный институт. 46 лет прожил в браке с писательницей, кино- и театральным критиком Зоей Богуславской.
На улице Горького в «Окнах сатиры» уже в 60-х годах изображён рабочий, выметающий «нечисть» метлой, — и среди сора-нечисти был изображён Вознесенский со сборником «Треугольная груша». В марте 1963 года на встрече с интеллигенцией в Кремле Никита Хрущёв подверг поэта резкой критике. Под аплодисменты большей части зала он кричал: «Убирайтесь вон, господин Вознесенский, к своим хозяевам. Я прикажу Шелепину, и он подпишет вам заграничный паспорт!». Не менее резкое неприятие вызывал Вознесенский у представителей неподцензурной литературы, которых советская власть не допускала в печать, вынуждая публиковать свои произведения исключительно в самиздате, - например, Всеволод Некрасов обращался к Вознесенскому с такими стихами: "Слушай Же Не ке ге бе Ву Па Не ке ге бе Ву Понимаешь Ты Же", - намекая на то, что бунтарская позиция Вознесенского санкционирована КГБ СССР.
Вознесенский неоднократно выезжал в различные зарубежные страны для выступлений: 1961 — Польша; 1961, 1966, 1968, 1971, 1974, 1977, 1984 — США; 1962, 1966, 1969, 1976, 1977, 1983 — Италия; 1962, 1963, 1973, 1982, 1984 — Франция; 1967, 1977, 1983 — ФРГ; 1971 — Канада; 1964, 1966, 1977, 1981 — Великобритания; 1973 — Австралия; 1968 — Болгария; 1981 — Мексика и мн. др. Он стал одним из самых популярных русских поэтов в США. Вознесенский сдружился с поэтом-битником Алленом Гинзбергом, стал другом семьи Артура Миллера. Его встреча с Мэрилин Монро позднее запечатлелась в строках: «Я Мэрлин, Мэрлин. / Я героиня / Самоубийства и героина».
Через год после сборника «Треугольная груша» вышла посвящённая Ленину поэма Вознесенского «Лонжюмо». Стихотворный сборник «Антимиры» послужил основой знаменитого спектакля Театра на Таганке в 1965 году. Для этого спектакля Владимир Высоцкий написал музыку и спел «Песню акына» на стихотворение Вознесенского.
В 1970-е Вознесенского стали издавать достаточно хорошо, он выступал по телевидению и получил в 1978 году Государственную премию СССР, но в том же году принял участие в неподцензурном альманахе «Метрополь» (1978).
Вознесенский — автор архитектурной части монумента «Дружба навеки» (совместно с Ю. Н. Коноваловым), установленного в 1983 году в память двухсотлетия добровольного присоединения Грузии к России на Тишинской площади в Москве. Скульптурная часть памятника выполнена З. Церетели. Вознесенский дружил со многими деятелями искусства, о встречах с которыми вспоминал в статьях и мемуарно-биографических книгах. Он был собеседником Сартра, Хайдеггера, Пикассо, встречался с Бобом Диланом.
На стихи поэта написаны популярные эстрадные песни: «Плачет девочка в автомате», «Верни мне музыку», «Подберу музыку», «Танец на барабане», «Песня на „бис"» и главный хит «Миллион алых роз», где поэт в стихах пересказал новеллу Паустовского о любви художника Пиросмани к французской актрисе. С автором четырёх последних песен Раймондом Паулсом Вознесенский сотрудничал очень много. Рок-опера «„Юнона" и „Авось"», написанная на либретто Вознесенского Алексеем Рыбниковым, была поставлена в 1981-м Марком Захаровым в Московском театре имени Ленинского комсомола и до сих пор не сходит со сцены. Наиболее известен романс «Я тебя никогда не забуду», основанный на стихотворении «Сага».
Жил и работал в подмосковном Переделкине, по соседству с дачей-музеем Бориса Пастернака, где два раза в год, 10 февраля (день рождения Пастернака) и 30 мая (день смерти поэта) проводил поэтические чтения. Встречам с Пастернаком посвящена книга Вознесенского «Мне четырнадцать лет».
Первый инсульт поэт пережил за 4 года до смерти. В 2010 году Андрей Вознесенский перенёс второй инсульт, после которого он окончательно не оправился.
Андрей Андреевич Вознесенский скончался 1 июня 2010 года после продолжительной болезни на 78-м году жизни у себя дома в Москве. Отпевание поэта по православному обряду состоялось в полдень 4 июня в церкви святой мученицы Татьяны при МГУ. Андрея Вознесенского похоронили 4 июня 2010 года на Новодевичьем кладбище в Москве рядом с родителями.